小時候我們都學過紙上談兵這個詞。其實歷史上紙上談兵的並非只有趙括一人，還有數學家。1914年一戰期間，英國工程師弗雷德里克 蘭徹斯特（我敢打賭這傢伙是一個死理性派）異想天開地用數學解析戰爭，創立了著名的蘭徹斯特戰鬥模型。通過它，我們能很容易地發現以少勝多背後的數學故事，比如經典的薩爾滸之戰。

　　但在故事開始前，有必要説明的是，這只是 一個簡化的數學模型 ，忽略了一些難以量化的因素，譬如天時、地利、人和以及政治因素，而它們對戰爭也有舉足輕重的影響。事實上，從科學角度講，研究結果僅對研究的模型有效。不過我們都知道，研究總是從基礎模型開始的。

　　這個著名的蘭徹斯特戰鬥模型，實際上是一個討論參戰方戰鬥力和時間關係的模型，可以用來宏觀地描述參戰雙方的戰鬥力損耗過程。這樣説或許有些抽象，讓我們先思考一個問題，現在有兩支軍隊 A 軍和 B 軍。A 軍以精銳著稱，但兵力只有 B 軍的一半，B 軍人多勢眾，但單兵作戰能力平均只有A軍士兵的一半, 除此之外它們其他方面全部是等同的。如果這兩支軍隊交戰，一支軍隊消滅另一支軍隊即為勝利，你認為誰將是這場戰鬥的贏家？讀者們不妨先選定一個答案（ A 勝、B 勝或者玉石俱焚），然後再來看看蘭徹斯特戰鬥模型怎麼説。

　　假設現在有一場戰鬥，交戰的雙方為甲方和乙方。我們規定它們在戰鬥中某一時刻的戰鬥力（冷兵器時代，一般情況下就是部隊中士兵的人數）分別是 x( t ) 和 y( t ) ，其中t表示時間。同時為方便起見，假設 x( t ) 和 y( t ) 都是關於 t 的連續可微函數，且恒為非負。換言之，雙方的戰鬥力都是隨著時間連續變化的，不可能在某一時刻發生突變（譬如《西遊記》中的孫悟空從天宮搬來救兵），也不可能在某一時刻有變化率的突變（譬如打架的時候被對方一巴掌打通任督二脈）。

　　在此基礎上，我們再假設某方戰鬥力的變化都是由於敵方對它的攻擊造成的，這樣戰鬥力在某一時刻的變化量，便只和該時刻對方的戰鬥力正相關。

　　據此我們可以得出下面兩個微分方程：

　　其中系數 a 和 b 分別是乙方和甲方對對方的殺傷率，也就是某方每單位戰鬥力能夠對敵方造成的戰鬥力損耗。

　　這便是著名的蘭徹斯特戰斗方程。也許現在這個方程看上去還不夠直觀，但如果把它稍作變換，就可以得到這樣的式子。

　　在上面的式子中，假設等式左右兩邊的值為正，當 x = 0 時，必有 y > 0 。這也就意味著當甲方的戰鬥力消耗殆盡的時候，乙軍還有人活著，這種情況下自然是乙軍獲得了勝利。同理，當等式左右兩邊的值小于0時，甲軍將取得勝利。那當這個值等於0的時候呢？顯然雙方將慘烈地同歸於盡，最終就像電影《赤壁》收尾處所説的那般：“大家都輸了。”

　　更重要的是，上述這個式子還説明了在戰鬥中雙方的軍事實力和各自軍隊戰鬥力的平方成正比。這也就是著名的蘭徹斯特平方律。

　　舉個最簡單的例子，倘若兩支旗鼓相當的軍隊來火並的話，此時a=b ， x 0 = y 0 = 1 ，這時候 a y 2 = b x 2 ，最終雙方將同歸於盡。但是倘若甲軍去和一支人數是它的兩倍，但每個士兵的實力只有他一半的乙軍來打呢（這正是在前面提出的問題）？由 2a = b, y 0 = 2x 0 可得 a y 2 / b x 2 = 2。這表明佔據人數優勢的乙方將取得勝利，儘管他們的功夫都只有對手的一半。

　　更進一步來看後面這個例子，把 2a = b， y 0 = 2x 0 ，x = 0 這些條件都代入到上面給出的等式當中，可以得到y= √2 x。這意味著在乙軍徹底消滅他的勁敵——精銳的甲軍以後，自身兵力的損失還不到一半。如此事實無疑會讓以精銳聞名的甲軍感到壓力山大，因為他們如果想要在人數不變的情況下和乙軍對敵而不敗的話，至少要讓自己的每個士兵的單兵作戰能力達到乙軍的四倍才行！

　　上面的例子讓我們看到，蘭徹斯特平方率直觀地反映了對戰雙方的戰鬥力對比。金庸迷們一定記得《笑傲江湖》中東方不敗獨戰令狐衝、任我行、向左使、任盈盈的精彩片段，雙方實際上打成平手。由此根據蘭徹斯特平方率能推算出，東方不敗的戰鬥力是其餘四人戰鬥力平均值的16倍！也就是説，如果令狐衝、任我行、向左使、任盈盈戰鬥力分別是100、80、60、40的話（平均戰鬥力70），東方不敗的戰鬥力就是70 16 = 1120 。Ta的“天下第一”還真不是浪得虛名。

　　從蘭徹斯特到將近百年後的今天，歷史開始顯得久遠。但這並不妨礙我們做一回“事後諸葛亮”，意行沙場，也來紙上談兵，用激揚文字再指點當年戰場。而這一回，我們就從數學角度來講述那場經典的以少勝多——薩爾滸之戰。

　　這是發生在萬曆四十七年（公元1619年），中國遼東的一場規模浩大且影響深遠的大戰。

　　在這場戰役中，當時僅擁有約六萬八旗子弟的後金軍首領愛新覺羅 努爾哈赤，憑藉著他老到的戰略眼光，竟將兵力二倍于他、洶洶而來的大明王師打得慘敗而歸。此戰明廷喪師近五萬，將官戰死者亦有三百餘人，其中還包括山海關總兵杜松這樣的高級將領，可謂精銳盡失。若説當年李成梁對待努爾哈赤的態度是“為虺弗摧”的話，經此一役的後金對明廷來説，已然是“為蛇若何”了。

　　然而在此戰之前，並非人人都把後金當回事，至少此次戰役中明軍方面最高統帥、遼東經略楊鎬大人就是如此。據説在薩爾滸戰役之前，楊鎬曾與努爾哈赤修書一封，稱大明王朝集結了四十七萬大軍將襲，並將出兵日期如實相告，似乎想以天朝神威威嚇後金，好“不戰而屈人之兵”。由此可見，在當時的楊鎬看來，“消滅賊酋”不過是手到擒來的事情，根本沒有想到會有戰敗的可能。但是事實上，如果楊鎬大人了解蘭徹斯特模型，也許他就會發現，雖然他的兵力是對方的兩倍，但他的慘敗卻早在出師之日就已註定。

　　何出此言呢？不妨讓我們用蘭徹斯特戰斗方程來分析薩爾滸之戰。

　　當時努爾哈赤麾下的八旗子弟都是久經沙場的精銳，軍隊素質自然不可小覷。但明軍亦有先進的武器和裝備可與之抗衡，再加上常年和叛軍作戰的川軍，以及由當年一代名將戚繼光精心打造的浙軍，軍隊的兵員能力也不在後金軍之下。所以雙方的殺傷率系數不妨看做是相等的。

　　那麼兵力情況又是怎麼樣呢？我們在前面就已説過，後金軍的兵力約六萬人，而明朝方面的數據則是十二萬。恰如前面的例子一般，後者的兵力是前者的兩倍。換言之，如果楊鎬的大軍就這麼殺過來的話，似乎努爾哈赤唯一的方法，就是在對方到來之前，把自己手下兵士的作戰能力提高到原來的四倍。

　　但是一個很有趣的事實是，在薩爾滸之戰的交戰過程中，始終佔據兵力優勢的卻是後金。原來楊鎬在進攻的時候竟把自己的軍隊分成了四路，而這四路軍隊不但沒有統一的調度，相互之間的通信也甚不靈便（實際戰爭中，有兩路軍隊已經被努爾哈赤消滅了，第三路軍竟還毫不知情）。這就使得本來兵力薄弱的努爾哈赤反倒擁有了以眾擊寡、各個擊破的局部戰略優勢。雖然後金的兵力只有明朝的一半，但是後金每次戰鬥中面對的兵力，卻都只有自己的一半。

　　讓我們來為這種戰略局面算一筆帳。假設後金軍和明軍的殺傷率系數都是 1，戰鬥力以萬人為單位，那麼後金軍的軍事實力是：

　　假設明朝的四路軍隊中兵力平均分配，也就是每路有 3 萬人（實際兵力部署與此相去不遠），那麼明朝的軍事實力則是：

　　我們發現，擁有巨大人數優勢的明軍的軍事實力和後金軍其實是相當的！

　　當然，這裡的計算有一個問題。我們給出的這種明軍兵力分配方案，恰巧是使得它的軍事實力總和最小，根據均值不等式可以知道，只要在實際分配的時候哪怕採用3.01，2.99，3，3這樣的方案，明軍不就能夠打敗後金了嗎？

　　在這個模型下的確如此。但這要求當時的明軍能如同岳飛所夢想的那樣“文臣不愛錢，武臣不惜死”，軍隊在損失慘重的情況下依然堅持戰鬥到最後一人。那樣的話，努爾哈赤老兄真的是要操心下自己腦袋的去處了。可惜實際情況並非如此。古代戰爭的一個事實是，當某方的損失超過一定數量以後（這個數量通常還並不高），往往會因為士氣低落而潰散，在接下來就變成“追亡逐北”的場面了。這種情況下戰鬥變為屠殺，潰散軍隊的殺傷率約等於 0。所以戰爭的勝負絕大多數都不是因為一方把另一方完全殲滅，而是因為一方的士氣已經無法維繫。

　　所以不妨讓我們假設雙方都會在自身兵力損失達到一半的時候潰敗。同時再把明軍四路兵力的實際部署情況稍加調整，用 4，3，3，2 作為它的部署策略，此時的軍事實力總值為38，高於後金軍。第一場戰鬥後，後金的殘余兵力 x 1　滿足如下方程：

　　解之得 x 1 =2√6≈4.90 。也就是第一場戰鬥結束後後金軍的剩餘兵力約4.9萬人。我們繼續通過下面的方程求解 x 2 ， x 3 ， x 4 。

解之得

　　計算結果表明，四場戰鬥中每一場都是後金軍的兵力佔優，導致每一場戰鬥的勝者都是後金，所以最後的勝者也是後金——儘管總的軍事實力明軍更高。

　　要説明的是，這裡對明軍並沒有任何的不公平。事實上這個模型還有些偏袒明軍，因為在當時的歷史條件下，明軍士氣的水平其實很難達到傷亡人數約一半時才潰散。如果按照《竊明》中所説的標準——“除了處於死地外，最優秀的封建軍隊也不過能忍受一、兩成的傷亡而不崩潰”來計算，當後金軍取得勝利的時候，它所損失的兵力也不過1.28萬人，還遠不到其初始兵力的三分之一。

　　借助數學工具，數百年後的我們可以輕鬆地計算出努爾哈赤必將取得大勝的結果 。可惜的是當時背負十數萬將士性命的統帥楊鎬並沒有這樣的覺悟，即使當開原總兵馬林根據自身的經驗向他提出“王師當出萬全，宜並兵一路，鼓行而前，執取罪人，傾其巢穴”這一清醒建議的時候，他也只是傲慢地堅持故我。如此無能的統帥最終葬送了大明的精銳之師。

　　後來的事情是：萬曆四十七年二月二十五日，大明王師正式出征；三月初一，西路軍遭努爾哈赤攻擊，寡不敵眾，全軍覆沒，總兵杜松戰死；三月初三，北路軍遭受攻擊，寡不敵眾，全軍覆沒，總兵馬林狼狽逃回；三月初五，東路軍被後金軍偷襲，猝不及防，全軍覆沒，總兵劉鋌戰死；三月初六，南路軍接到三路大軍戰敗的消息後匆忙撤兵，後金軍趁勢追擊，損傷慘重。結果正如我們這群事後諸葛亮所分析的一樣，可惜我們的分析也正如開原總兵馬林的意見一樣，終無改這場戰事的結局。

　　也許在因這場慘敗而下獄到他被處斬以前，楊鎬也曾多次反思過這場過戰鬥。他或許無法像我們這樣定量計算出戰鬥的結果，但至少也應該會對《孫子兵法》虛實篇裏“以眾擊寡”這個詞有一層新的理解吧。