果殼DIY上前不久的 “嘆為觀紙”第一期：現代摺紙介紹 一文讓無數人喜歡上了摺紙這門藝術。死理性派也來湊個熱鬧，講一講摺紙背後的數學之美。

　　一張白紙，不剪不裁，卻能折出無數變化。有時候尺規作圖無法完成的任務，摺紙卻能解決。為什麼它能有如此多變化呢？這還要從摺紙對應的幾何操作説起了。

　　1991 年，日裔意大利數學家藤田文章（Humiaki Huzita） 指出了摺紙過程中的 6 種基本操作，也叫做摺紙幾何公理。假定所有摺紙操作均在理想的平面上進行，並且所有折痕都是直線，那麼這些公理描述了通過摺紙可能達成的所有數學操作：

　　容易看出，它們實際上對應著不同的幾何作圖操作。例如，操作 1 實際上相當於連接已知兩點，操作 2 實際上相當於作出已知兩點的連線的垂直平分線，操作 3 則相當於作出已知線段的夾角的角平分線，操作 4 則相當於過已知點作已知線的垂線。真正強大的則是後面兩項操作，它們確定出來的折痕要滿足一系列複雜的特徵，不是尺規作圖一兩下能作出來的（有時甚至是作不出來的）。正是這兩個操作，讓摺紙幾何有別於尺規作圖，摺紙這門學問從此處開始變得有趣起來。

　　更有趣的是，操作 5 的解很可能不止一個。在大多數情況下，過一個點有兩條能把點 A 折到直線 a 上的折痕。

操作 6 則更猛：把已知兩點分別折到對應的已知兩線上，最多可以有三個解！

　　一組限定條件能同時産生三個解，這讓操作 6 變得無比靈活，無比強大。利用一些並不太複雜的解析幾何分析，我們能得出操作 6 有三種解的根本原因：滿足要求的折痕是一個三次方程的解。也就是説，給出兩個已知點和兩條對應的已知線後，尋找符合要求的折痕的過程，本質上是在解一個三次方程！

　　相比于摺紙的幾何操作，尺規作圖就顯得有些不夠“強大”了。不妨讓我們先來回顧一下尺規作圖裏的五個基本操作：

　　這5項操作看上去變化多端，但前3項操作都是唯一解，後兩項操作最多也只能産生兩個解。從這個角度來看，尺規作圖最多只能解決二次問題，加減乘除和不斷開方就已經是尺規作圖的極限了。能解決三次問題的摺紙規則，勢必比尺規作圖更加強大。

　　正因為如此，一些尺規作圖無法完成的任務，在摺紙幾何中卻能辦到。比如摺紙法可以實現作正七邊形，而這是無法用尺規作圖辦到的。

　　我們有更簡單的例子來説明，用摺紙法能完成尺規作圖辦不到的事情。“倍立方體”問題是古希臘三大尺規作圖難題之一，它要求把立方體的體積擴大到原來的兩倍，本質上是求作 2 的立方根。由於尺規作圖最多只能開平方，因而它無法完成“倍立方體”的任務。但是，摺紙公理 6 相當於解三次方程，解決“倍立方體”難題似乎是遊刃有餘。

　　有意思的是，用紙片折出 2 的立方根比想象中的更加簡單。取一張正方形紙片，將它橫著劃分成三等份（方法有很多，大家不妨自己想想）。然後，將右邊界中下面那個三等分點折到正方形內上面那條三等分線上，同時將紙片的右下角頂點折到正方形的左邊界。那麼，紙片的左邊界就被分成了 3√2 : 1 兩段。

　　利用勾股定理和相似三角形建立各線段長度的關係，我們不難證明它的正確性。強烈建議大家自己動筆算一算，來看看三次方程是如何産生的。

　　本文寫到這裡，大家或許以為故事就結束了吧。 10 年以後也就是 2001 年，事情又有了轉折： 數學家羽鳥公士郎（Koshiro Hatori）發現，上述的 6 個摺紙公理並不是完整的。 他給出了摺紙的第 7 個定理。從形式上看，第 7 公理與已有的公理如出一轍，並不出人意料，很難想象這個公理整整十年裏竟然一直沒被發現。繼續閱讀之前，大家不妨先自己想想，這個缺失的操作是什麼。這段歷史背景無疑讓它成為了一個非常有趣的思考題。

　　補充的公理是：

　　後來，這 7 條公理就合稱為了藤田－羽鳥公理（Huzita–Hatori 公理），你可以在 維基百科 上讀到這個條目。在 2003 年的一篇文章中，世界頂級摺紙 藝術家 羅伯特 朗 （Robert J. Lang ）對這些公理進行了一番整理和分析，證明了這 7 條公理已經包含摺紙幾何中的全部操作了。

　　羅伯特 朗注意到，上述 7 項基本操作其實是由一些更基本的操作要素組合而成的，例如“把已知點折到已知線上”、“折痕經過已知點”等等。説得更貼切一些，這些更加基本的操作要素其實是對折痕的“限制條件”。在平面直角坐標係中，折痕完全由斜率和截距確定，它等價于一個包含兩個變量的方程。不同的折疊要素對折痕的限制力是不同的，例如“把已知點折到已知點上”就同時要求 x1‘ = x2 並且 y1‘ = y2 ，可以建立出兩個等量關係，一下子就把折痕的兩個變量都限制住了。而“折痕經過已知點”則只能列出一個方程，只能確定一個變量（形式上通常表示為與另一個變量的關係），把折痕的活動範圍限制在一個維度裏。

　　不難總結出，基本的折疊限制要素共有 5 個：

　　而折痕本身有 2 個待確定的變量，因此符合要求的摺紙操作只有這麼幾種： (1) ， (2) + (2) ， (3) ， (4) + (4) ， (5) + (5) ， (2)+(4) ， (2) + (5) ， (4) + (5) 。但是，這裡面有一種組合需要排除掉： (4) + (4) 。在絕大多數情況下， (4) + (4) 實際上都是不可能實現的。如果給出的兩條直線不平行，我們無法折疊紙張使得它們都與自身重合，因為沒有同時垂直于它們的直線。

　　另外 7 種則正好對應了前面 7 個公理，既無重合，又無遺漏。摺紙幾何至此便有了一套完整的公理。

　　不過，摺紙的學問遠遠沒有到此結束。如果允許單次操作同時包含多處折疊，摺紙公理將會更複雜，更強大。摺紙的極限究竟在哪，這無疑是一個非常激動人心的話題。

　　在這裡，簡單展示幾個摺紙幾何學的例子，分別是三等分角、黃金比例和正六邊形。圖片由果殼美術設計師 V晶V 製作