【名師在線高考大諮詢】——數學篇

央視國際 2003年05月16日 09:28

　　高考已到了最後衝刺的階段，因遭遇“非典”，考生不得不停課在家復習。為了保證考生在復習中遇到的問題能及時得到解答，儘量減少停課放假造成的不利影響，5月15日至16日，CCTV.com、《當代教育》聯合邀請北京多所重點中學各科知名教師坐客央視國際網站，為考生在線諮詢，答疑釋惑。

　　15日晚19：00－21：00，北京市12中學數學教研組長劉文武為6000多名網友就備戰高考數學方面的問題進行了解答。

　　開場白

	《當代教育高考大諮詢》編導延宏

　　【《當代教育高考大諮詢》編導】大家好，我是《當代教育》欄目的編導，在今年的《高考大諮詢》節目中，擔任《解讀考試説明——數學篇》的編導，希望我們的節目對大家有所幫助。

　　【劉文武】同學們好，距離高考還有三周時間，今天借用央視網站來回答同學們一些問題，希望能夠給同學們的備考提供一些幫助，在備考的最後階段，同學們要注意梳理知識網絡，能夠居高臨下的把握數學學科知識系統的內在聯絡，掌握數學思想方法，掌握解題策略，培養一個良好的心態，勇敢的迎接國家的檢驗。　　

　　關於考試難度、考試比重及應試技巧

　　【聒噪41】老師您好：請問今年的數學試卷在難易程度上會有什麼安排？基礎分會佔多大的成分？

　　【劉文武】按照考試説明的説法，試題的難易比例3：5：2，也就是説，基礎性的題目要佔到80％，也就是120分，今年的試卷的難度會和去年一樣，保持在0.60左右。

　　【7毫米】老師你好，我是新課程的考生，請問今年新課程高考的重點是什麼，與以往舊教材相比，新增加的內容會以怎樣的比重出現！

	北京市12中學數學教研組長

　　【劉文武】新課程內容考試的重點，考試説明當中也早有説明，它也是平時教學的重點，比如函數知識、不等式與數列、空間直線與平面的位置關係，直線與圓錐曲線的位置關係等等，新教材增加的內容比如概率、導數都會考到，但都是基礎要求，不會出很難的題。

　　【st032】應用題:老師能否講一講關於做應用題的技巧和方法？現階段應怎麼復習應用題？

　　【劉文武】應用題的問題主要靠平常的積累，因為它考的是同學們的閱讀理解能力以及動手實踐的能力和建立數學模型的能力。近幾年的高考應用題貼近生活、關注社會熱點，比如環保、人口、資源、汽車等等。但是，它所用到的數學知識，絕大部分是課本中講過的，有少數應用題並不用到多少高深的數學知識，而是考考生的思維能力以及對於生活經驗的積累。在做應用題時，首先要能夠讀懂題意，最好能夠畫一張圖，把題目當中的已知條件都標上去，然後分析題目的內容是數學當中的什麼問題，比如，是函數問題還是不等式問題，還是數列問題，還是三角函數問題。這就是説，要能夠歸類到一定的數學模型，當你能夠建立數學模型的時候，剩下的問題就是把這個模型解出來，然後再反演到原來的問題當中去。請同學們注意一下近五年的高考數學應用題，仔細學習他們的解題思路和方法，從中體會如何建立數學模型。

　　【果果83102】選擇題是不是有所謂的技巧？

　　【劉文武】數學選擇題是高考數學三大基本題型之一，一組高考數學選擇題，只要備題充分的揚長避短，運用好群體效應，就能在較大的知識範圍內，實現對基礎知識、基本技能和基本的數學思想方法的全面考察。能比較確切地測試考生對概念、原理、性質、法則、定理和公式的理解和掌握程度，還能在一定程度上有效考察邏輯思維能力、運算能力、空間想象能力以及靈活和綜合地運用數學知識解決問題的能力。2003年的高考數學試卷（全國卷）仍將有12個選擇題，每題5分，共計60分，佔總分150分的40％。而去年全國卷的難度為0.60，即平均分為90，而60分佔90分的比例為三分之一。約67％。可見選擇題的成功率對於全卷的成功來説多重要。從選擇題的結構特徵、命題方法可以尋找並總結出一些簡捷巧妙的解法。

　　下面給出十種簡捷巧妙的解法。供你參考。一、“抓住特徵，逆施倒行”；二、“火眼金睛，一眼洞穿”；三、“觀察思考，估算判斷”；四、“多思少算，特值判斷”；五、運動變化，巧用極端”；六、“數形結合，巧用直觀”；七、“敢於排除，善於排除”；八、“注意平衡，巧用對稱”；九、“等價轉化，活用定義”；十、“巧用蘊含，果斷排除”。

　　以上十種方法，配合應用就可以使得選擇填空題解答又快又準。比如，有些方程的解，我們可以翻過來用選擇支代入驗證，這就是逆向代入法，它比直接求解對號入座有時候要來得快。再比如估值法，某年一道高考題是説，一個正方體的表面積是a的平方，那麼，它的外接球的表面積是：題目中給出了四個選擇支，我們估計圓的表面積比它的內接正方體的表面積要大一些，但也大不到哪去，有兩個答案説，外接球的表面積，分別是正方體表面積的六倍多和九倍多，顯然應該排除另一個選擇支，所求的表面積是正方體表面積的1.01倍，顯然，也不對。而剩下的一個選擇支，球的表面積是正方體表面積的1.57倍，顯然，它就應該是正確的選擇題。我們這裡只是對球的表面積進行了估算，就可以得到正確結果，還有許多高考選擇填空題都可以用近似計算和估算的方法進行解答，估算也是一種能力，考試中心在命題的時候，特別提到提倡運用估值判斷的方法。不用這樣的方法，費時較多，用上這樣的方法，簡潔明快，它可以把不同層次的考生區別開來。

　　【Ignorance】老師，請您也講講填空題有哪些解答技巧好麼？

　　【劉文武】高考的填空題近幾年都是四個題目，每題四分，共16分，填空題因為沒有了選擇支的提示，因此，它只能通過解答來填空，能力上，就比選擇填空題的解答要高一些，做好填空題重點在於基礎知識要熟練，對於重要的函數性質，圖形性質，要能夠了然于胸，同時，運算要準確，因為填空題不設中間分，一丟就是四分，這是非常殘酷的，不像後面的解答大題，它還有步驟分，一個大題你可能解不下來，但卻可能拿到題目的一半分數，而選擇題和填空題沒有一半分數的問題，所以，要特別注意計算的準確，對概念理解的準確。

　　離高考只有三周的時間了，在這麼短的時間裏如何進行最有效的復習自然成了同學們關心的問題。

　　【Ignorance】請問老師，這3周時間裏對於數學基礎不太好的同學的復習，應當多做題目還是多看基礎點？

　　【劉文武】離高考的時間只有三周了，對於基礎稍差的同學應該回歸課本，回歸基礎，要把課本上重要的定理、公式、定義、法則搞熟練，注意編制知識網絡，對照書本的目錄在腦子裏過電影，爭取能夠把最基礎的知識回憶起來，同時對於典型的例題，要梳理它的解題思路。在這樣的基礎上，適當地做一些中等偏下的題目，最後階段，可以按照知識和方法把做過的模擬題進行梳理，找一找自己錯誤的地方和薄弱環節，然後，有目的的改錯，這樣使自己的基礎再牢固一些。而不要去盲目地再做大量的題目。因為高考命題你是猜不到的，但是，高考的重點都是在考試説明當中，向全國考生和家長明示的，什麼是重點？什麼是基礎？説得非常明白。因此，建議你在最後的三周裏，再一次閱讀考試説明，特別是閱讀它的題型示例和樣卷，詳細地看它的解答以及評分標準，從中體會高考的要求，這樣的話，目的明確，減少盲目性，把自己的精力用在最重要的地方。好鋼要用在刀刃上，這樣才會對提高自己的信心有幫助。

　　【Ignorance】大家都説湖南的學生考的分數高，但至少在我們這裡不是。（就數學這一學科而言）我每次模擬考數學只能考70來分，但在我們班上這還算是前幾名的。我真的很失望，不知道現在該怎樣提高了。看著同學們一個個都對數學這門放棄了，但我覺得我不能，我希望能在這剩下的3周裏提高一點是一點。請問老師我現在該怎樣復習？是多做題還是把基礎點扎紮實實搞清楚？

　　【《當代教育高考大諮詢》編導】要相信自己，心理因素很重要。在最後的復習階段，希望你不要放棄數學，畢竟在高考成績中它佔的分值還是比較高的。

　　【劉文武】根據經驗，對於你現在的情況，建議你回歸課本，重視基礎，把做過的題目按照知識和方法進行梳理、整理，總結解題經驗，總結解題方法，可以告訴你一個現實的例子，有一位英語很好的女同學，數學原來很差，在最後的復習階段，老師發現她平時很少看課本，有許多用課本上的知識就直接可以回答的問題，她卻不知道在哪，後來，老師點撥她，讓她認真的把課本讀上了兩遍，特別是課本上帶有總結性的章節小結的部分認真地讀懂、領會，然後，再做一些基礎題，這位同學平時的考試只有60多分，但是在高考當中，由於重視了基礎，選擇題、填空題答得比較好，結果考了100多分，被北京師範大學錄取。這個例子説明，數學不能放棄，一部分同學的數學不好，並不是腦子問題，而是方法不當，注意了方法，注重了基礎，注意了知識結構，注意了解題方法的梳理總結，注意查缺補漏，就可能使自己的成績得到較大的提高，你的數學成績在班裏面排前幾名，應該説是有實力的，考試不要單看分數，分數的高低和試卷的難度直接相關，題難分數就低，題目相對容易，分數就會高一些。近幾年，隨著擴招，每年的高考錄取率比過去有了較大程度的提高，因而高考的命題也比過去稍有變化，總的趨勢是降低難度，因此，要有信心，奪取今年高考的勝利。

　　高中數學分為立體幾何、解析幾何和代數，劉老師分別介紹了不同分類的數學的解題技巧和學習方法。

　　【拂曉飛虹666】老師您好：請問三角函數公式太多，作題時往往開始不知道用什麼公式較容易？

　　【劉文武】三角公式太多，記憶時要注意它們的聯絡，我給你一個四字歌，可以幫助你記憶：三角知識，自成體系，記憶口訣，一二三四。一個定義，三角函數，兩種制度，角度弧度。三套公式，牢固記憶，同角誘導，加法定理。同角公式，八個三組，平方關係，導數商數。誘導公式，兩類九組，象限定號，偶同奇余。兩角和差，欲求正弦，正余余正，符號同前。兩角和差，欲求余弦，余余正正，符號相反。兩角相等，倍角公式，逆向反推，半角極限。加加減減，變量替換，積化和差，和奇互變。三角公式的應用主要是用來化簡、計算和證明。在化簡和證明過程當中，要注意恰當的化弦（即把正切、余切、正割、余割化為正弦、余弦），變角注意到角之間的關係，比如，a=a＋b－b=a＋b/2＋（a－b）/2.2a=（a＋b）＋（a－b）.等等。這樣，就可以快速地進行三角函數式的恒等變換。

　　【st032】關於數列的問題:請問老師，在做有關數列的問題時，往往是基礎知識都懂，可有時候卻覺得無從下手，怎麼辦？

　　【劉文武】關於數列的問題，高考中最重要的是兩類基本數列，即等差數列和等比數列，要注意他們的定義、通項公式、前n項和公式，以及中項公式，要注意等差數列和等比數列的判定。比如，從通項公式上看，如果數列的通項公式是項數n的一次函數，或者是常函數，那麼，這個數列就是等差數列。如果從前n項和的公式上來看，缺少常數項的二次函數才是等差數列，並且還要掌握數列的一些重要性質，比如，等差數列，距離首末兩項，距離相等的任意兩項的和，都與首末兩項的和相等，當項數是奇數的時候，前n項的和等於中間項的n倍，對於等比數列，距離首末兩項距離相等的任意兩項的積都相等。這些性質在解題時都非常有用。又如，等差數列的片斷和還是等差數列，等比數列的片斷積仍是等比數列，將一個等比數列各項同次乘方，或者同取倒數，所得到的新數列仍是等比數列，兩個等差數列對應項的和差構成的新數列，仍是等差數列，這些性質在解題時都可以帶來很大的幫助，在解決數列問題時，要用到解方程組，要用到一次函數、二次函數、指數函數的性質。所以函數思想與方程思想是解決數列問題的重要方法。

　　　【亮崽6】劉老師，能否講一下關於做解析幾何題的技巧？

　　【劉文武】先送你一個解析幾何四字歌：一個方法，坐標解析。映射反演，數形結合。兩個核心，兩個問題。曲線方程，軌跡作圖。三個公式，基本公式。定比分點，兩點距離。斜率公式，坐標差比。四個公式，也很重要。平行垂直，點線距離。弦長公式，兩線夾角。五種曲線，動點軌跡。直線與圓，橢圓雙曲。拋物曲線，圓錐統一。定義方程，性質有趣。

　　平面解析幾何是用代數的方法研究幾何圖形的一門學科，它非常重要的思想是數形結合的思想，映射反演的思想，它把幾何問題通過建立坐標係，用數隊來表示點，用方程表示曲線，把幾何問題轉化為代數問題，把曲線的交點問題，轉化為方程組的實數解的問題。平面解析幾何裏面最基本的公式有三個：一個是兩點間的距離公式，一個是定理分點公式，一個是兩點連線的斜率公式。它把幾何的三個基本量，即點、距離、方向都用代數的方法表示出來，解決平面解析幾何的問題也要注意與平面幾何的知識相結合。同時，還要對各種曲線的定義有深刻的理解，對各種曲線的標準方程有準確的記憶，定義反過來就是性質，應該從不同的側面來認識各種曲線，比如，圓它是平面上到一個定點的距離等於定長的點的軌跡，同時，它又是到兩個定點的距離的比，等於一個不等於1的正的常數的點的軌跡，再比如，平面上到兩個定點的距離的平方和等於常數的點的軌跡，也是圓。這樣我們就從不同的側面更全面地認識圓，再比如圓錐曲線，有第一定義，還有第二定義，以及統一定義。它是平面上到定點的距離和到定直線距離的比等於常數的點的軌跡。這個定點叫做焦點。定直線叫做準線，常數叫做離心率。這個常數在O、1之間時，曲線是橢圓，常數是1時，曲線是拋物線，常數大於1時，曲線是雙曲線。第一種定義和第二種定義的靈活轉換常常是打開解析幾何思路的鑰匙。同時，還要注意記一些重要的結論，比如，等軸雙曲線的離心率是根號2，反過來，離心率是根號2的雙曲線就一定是等軸線雙曲線，它的兩條漸進線互相垂直。再比如，雙曲線的焦點到任意一條漸進線的距離等於虛半軸的長，這個性質是教科書上的一個習題。再比如，過圓錐曲線的焦點與圓錐曲線的軸垂直的直線，與圓錐曲線相交所截得的線段叫做圓錐曲線的通徑，它的長度在拋物線是2P。在橢圓和雙曲線是2倍的b平方除以a。這些重要的知識點，在解題時特別是選擇和填空題都可以直接應用。

　　【st032】複數:劉老師，能不能給我講解一下關於做複數題的一些思路或方法呢？或是一些解題技巧？非常感謝！

　　【劉文武】複數問題重點是掌握複數的概念與運算，掌握運算的幾何意義，對於複數的三角形式要搞清楚輻角及輻角主值，搞清楚複數的模，搞清楚複數加法和減法的幾何意義，複數三角形式的乘法對應于向量的伸縮和旋轉，複數開放的幾何意義，一個複數的n個n次方根，對應于復平面上n個點，這n個點構成圓內接正n邊形的n個頂點，複數近幾年，總的難度是在基礎和中檔部分，不要刻意拔高，求難。

　　【st032】幾何:請問老師，在做立體幾何時，往往會和一些平面幾何的知識混淆，這該怎麼辦？而且有些時候那種“立體感”不是很強，這該怎麼辦？

　　【劉文武】對於立體幾何要特別注意它和平面幾何的區別與聯絡，平面幾何當中沒有，而立體幾何當中獨有的知識往往是高考立體幾何命題的重點。比如，兩條異面直線所成的角，直線和平面所成的角，二面角的平面角，這些概念和計算，做圖和畫法都是命題的熱點。再如，多面體和旋轉體的側面積、體積的計算也是高考命題的熱點。高考立體幾何往往以特殊的圖形為載體，考察空間直線和平面的位置關係，特別是垂直關係。因此，高考立體幾何的復習，要以垂直和平行為綱，把立體幾何的有關定理進行梳理。比如，判定兩條直線垂直的定理有哪些？判定直線和平面垂直的條件都有哪些。判定兩個平面垂直的條件有哪些？判定兩條直線平行，直線和平面平行，平面和平面平行的條件都有哪些？將他們進行分類梳理以後，你的立體知識幾何體系就在腦子中建立了起來。給你一個建議，以一個正方體為載體，因為正方體有八個頂點、12條棱、6個面，有12條面對角線、有4條體對角線、有一個對稱中心。在它裏面，線線、線面、面面的平行、垂直、相交，各種位置關係都可以找到。我們可以把立體幾何第一章裏面12個定理和四個公理都納入到正方體當中，從而加深理解。加深記憶。在解答有關線面位置關係問題時，如果以正方體做背景，往往容易聯想，因此，正方體是你應該特別注意的一個幾何體。再比如，等邊圓錐也就是軸截面是等邊三角形的圓錐，它的側面展開圖是一個半圓，命題專家們非常青睞這幾個特殊的幾何體。翻來複去的，以他們為載體，命制立體幾何試題。立體幾何許多題目都可以在課本上找到原形，立體幾何一般的題目，一般是基礎性和中檔題，不會出難題，因此，立體幾何的分數是應該下決心拿到的。

　　【Ignorance】請問劉老師，關於解反函數題目有什麼好的建議嗎？

　　【劉文武】你提的問題很好，代數知識是以函數為中心的，或者説是函數為綱的，關於函數知識，也給你一個四字歌。函數一二三四，一個定義，原反函數；（映射，一一映射、逆映射），二個集合，定義值域；二條性質，單調、奇偶、循環週期；四塊重點，求解析式、判斷性質、圖象變換、最值應用。

　　你提到的問題我建議你去登陸一個網站，www.student.gov.cn，它是北京科技網下面一個學生科技網，其中有一個欄目叫數理化漫談，我在裏面寫了一篇文章，叫做“原函數、反函數、單調性、奇偶性及其相互關係”。其中，對課本上有關原函數、反函數的單調性、奇偶性及其相互關係的有關例題、習題以及復習參考題所包含的一些解題規律進行了整理。比如，原函數和反函數在對應的區間上單調性相同，原函數和反函數對定義域和值域互換，圖象關於直線Y=x對稱，奇函數在對稱區間上單調性相同，偶函數在對稱區間上單調性相反。一般來説，偶函數不存在反函數，如果奇函數存在反函數，則反函數也是奇函數，奇函數如果在原點有定義，則它的圖象一定經過坐標原點，這些知識綜合起來，就可以用來解決一些有關函數的題目。有時候，只需要思考就可以解答。剛才提到的網站，是一個官方網站，它是北京市科委和團中央青少年部聯合舉辦的，是免費的，你可以去詳細地看一看那篇文章。

　　《解讀考試説明－數學篇》 《解讀考試説明－數學篇》

　　【dream35】請問編導:高考大諮詢節目中的"數學篇"什麼時候播呀？我很想看看。

　　【《當代教育高考大諮詢》編導】《數學篇》共有兩期，《如何作好選擇題》5月13日已在《當代教育－－高考大諮詢》中播出，《數型結合巧解題》將在5月20日以後播出，具體播出日期請注意收看我們的節目預告。《當代教育－－高考大諮詢》播出時間為每天19：30－－20：00，第二天早上7：10重播。

　　【亮崽6】編導您好，近一段時間本台有數學實題講解嗎？

　　【《當代教育高考大諮詢》編導】《數學篇》主要是依據《考試説明》來講解數學應試技巧，在《如何作好選擇題》和《數型結合巧解題》兩期節目中，兩位專家都結合了具體實例做深入淺出地分析，歡迎收看。

　　結束語

　　【劉文武】再有三周同學們就要上考場了，高考可以説是同學們的成人儀式，你們要接受國家的挑選，將來，挑起振興中華的重任，老師在央視網站預祝你們取得高考的成功，預祝你們進入理想的大學深造。在高考的最後階段，信心是特別重要的，一定要滿懷信心上考場，充分發揮自己的水平，展示自己的能力和風采。再見！

　　【《當代教育高考大諮詢》編導】雖然今天的數學諮詢在線結束了，但我們的《高考大諮詢》仍在繼續，希望大家繼續關注我們的節目，也希望它能給您帶來一些幫助，祝所有的考生發揮出自己的水平，取得好成績。再見。