〈特別關注〉數型結合巧解題

央視國際 2003年06月05日 11:17

　　嘉賓：張小英 清華大學附屬中學 數學特級教師

　　劉文武 北京市第十二中學 數學特級教師

　　主持人勝春：親愛的觀眾們，大家好，歡迎各位繼續收看《當代教育》的系列節目《高考大諮詢》，我是勝春。在今天我們的節目時間裏，首先讓我們認識一下我們演播室當中請來的兩位嘉賓。好，兩位嘉賓你們好歡迎你們再次來到我們的《高考大諮詢》的演播室。今天我們還是就數學的相關問題跟大家進行現場的諮詢。在我們上期節目當中有關數學的諮詢方面我們也談到了一個數學的數形結合的這樣一種方法，在數學的應用是非常廣泛的，能不能就這一點給我們大家解釋一下，這種數形結合的這種思考方式對我們解答高考當中的這幾類題型比如説選擇題、 填空題、 解答題具體會有什麼樣的幫助呢？

　　嘉賓：高考近幾年的題目幾乎每一個試題，都注重了數學思想方法的考察。數形結合的思想方法，它的實質就是把抽象的數學語言、數量關係和直觀的圖形結合起來。它在解選擇題和填空題的時候非常有用，在解高考大題的時候也可以幫助打開思路。選擇題填空題它不需要你寫解答過程，那麼用數形結合的方法，尤其是用圖形，給出這個圖形我特別直觀地就能夠把這個題的答案也可能就看出來了。

　　像北京市2002年的高考數學第2題：在平面直角坐標係中，已知兩點，A坐標是（Cos80，Sin80），B（Cos20，Sin20）。那麼則AB的長度的值是什麼？這個題目如果有意識地運用數形結合思想呢，我們看到A（Cos80，Sin80），就可以想到它是單位圓上的一個點。看到B（Cos20，Sin20），也可以想到它是單位圓上的一個點。這兩個點與坐標原點連接起來得到的角AOB，就應該是80度減20度，等於60度。這時候呢三角形AOB就是一個等邊三角形。那麼第三邊的長度就和兩腰相等。而單位圓的半徑就是1。所以這時候呢答案根本不用算，眉頭一皺，仔細一想就出來了。這正是這幾年考試中心裏面命題的時候提倡的：多考一些想的，少考一些算的。如果考生能夠掌握這樣的方法，就可以使這個題目答題非常簡捷。

　　主持人勝春：實際上是等於提高了我們這個答題的效率。

　　嘉賓：填空題也是一樣。填空題由於是簡答題，它不需要書寫過程，只需要填寫一個正確答案。所有的解題過程都可以在草稿紙上做。那麼你如果能夠形數結合，勾勒一個草圖，往往就可以幫助你找到題目的正確解答。有這麼一個考試題：直線L過拋物線的交點，並且與X軸垂直。若L被拋物線截得的線段長為4，則A等於什麼如果？我們的形數結合意識比較強呢，在草稿紙上畫出來草圖，過拋物線的交點與它的對稱軸垂直的這條線段，恰好就是拋物線的通徑。馬上就可以從已知條件想到它的通徑的長是4，那麼我們也是那麼一想，就可以把這個題目的答案找到。這就避免了許多冗長的計算，使這個填空題的解答變得非常巧妙。

　　嘉賓：我覺得劉老師剛才説的兩個例子非常好。第一個例子呢，實際上它就是由數到形。第二個例子呢，就是由形到數。它恰好就反映了數形結合的特點。那麼有的時候往往就是這樣給出函數的圖象，我們容易想到一個數形結合的方法，去解這樣的選擇題。那麼給出曲線方程，我們也容易想到這個曲線的形狀是什麼樣的，然後結合曲線的性質，我們再來解這道題，都是可以想得到的。但是往往有的題目，比如給出一個方程，然後我們怎樣由這個方程想到它的形，然後根據它的幾何意義，我們再去解這道題。那就是由數到形恰好呢，就是在這方面，對同學們的能力要求應該是提高了一些。

　　早些年的時候，國家的高考是在選擇題和填空題的部分，提倡用形數結合的方法，而在高考大題裏面的話，允許打開思路。在表述上有嚴格要求，就是不大提倡。而去年到今年，由於數學思想的地位越來越重要，那麼就提出來形數結合的思想，也應該能夠在高考的大題裏面運用。現在北京市的考試答案和全國的試題分析，也都在高考的大題裏面，明確給出了用形數結合的方法，來解答高考大題。如果我們遇到解答題有這樣的題目，比如函數的圖象和性質，比較明顯曲線的方程又給得非常直接，那麼這種情況下，我們當然可以優先考慮用數形結合的方法。那麼在應用數形結合方法的時候，同學們一定不要忘記圖形要畫得準確。

　　主持人勝春：説到這兒呢，我們也採訪了一些高三的學生，他們就説呢在學習當中有一些困惑，我們先看看片子聽聽他們是怎麼説的。

　　學生採訪：有的時候感覺做最後一道大題的時候，就容易陷入思維定式。之後對於你的解題非常有限制，做起來呢容易陷入那種大量的計算當中，這是非常痛苦的。比如説在做卷子的時候，看到旁邊別的同學在做同樣一道題的時候，很快地就做完了，然後幾步的運算。但是我有時候可能很長間這道題都解不出來，所以我很著急。平時在做題的時候，老師也講很多，比如説像通法像這樣的題。也許你計算很麻煩，但是應該説是能夠解出來的。可是往往在考試當中，在有限的時間裏把題解對，真的很麻煩。經常是用一個方法算了半天，但是到最後又算不下去了，又想不出別的方法。這樣就使心理狀態也變得非常不好。

　　主持人勝春：那剛才看過這段片子之後，兩位老師説説，你們的聽了他們的這些想法之後，你們有什麼建議？

　　嘉賓：這位同學剛才提到的解題思路打不開的問題，就和能不能正確地選擇方法，能不能巧用數學思想很有關係。如果我們有意識地運用數形結合的思想，就可以使高考的有些比較複雜並且比較大的題變得比較小、比較巧。數形結合的思想方法呢，經常在以下知識方面得到應用。比如函數的圖象和性質、三角函數和反三角函數的圖象和性質。再有呢就是與解方程解不等式有關的問題，再有就是複數概念它的幾何意義問題，再有一個呢那就是解析幾何中的有關的問題的計算。這些問題我們應該優先考慮到用數形結合的方法去解題，這樣可以節省好多的時間。

　　主持人勝春：有的時候會不會出現這種情況，因為我們離高考很近了，這段時間可能有些同學，他想在數學方面再加把勁，再突擊一下，這個快速地鍛鍊答題，對他們有幫助麼？

　　嘉賓：我覺得這個應該是它有前提的。那就是説同學他的層次不一樣，程度也不一樣，所以這個時候我覺得應該是在常規解法的前提之下，在掌握了基礎知識、基本技能的這種前提之下，然後呢再重點地加強一下，一些特殊方法的訓練，還是非常有必要的。

　　主持人勝春：那剛才兩位老師都談到，在參加數學高考的時候，如何掌握好這個數形結合的思想方法，對我們答題取得好的成績，是非常有幫助的。那麼在這個即將要高考短短的時間內，作為我們考生來講，怎麼可能在這個短時間內，更好地掌握這種數學方法。兩位能不能結合你們自己多年的教學經驗，給大家介紹介紹。

　　嘉賓：我和張老師總結了一些形數結合，互相轉化的一些要點，我們把這些要點呢，介紹給同學們，可能會對你有所幫助，希望對你們參加高考有所幫助。遇到一次函數表達式ax＋b，那麼我們就聯想，y＝ax＋b迅速地轉化成一條直線。遇到二次三項式，我們要馬上聯想拋物線，它是開口向上還是向下它的基本位置。遇到指數函數、對數函數這樣的表達式，要馬上想到指數函數對數函數的圖象。遇到算術根下面平方和的形式，我們要有意識地聯想兩點間的距離公式。有了它們的圖形表示，那麼有些方程的問題，有些不等式的解的問題，通過圖象上就可以迅速地判斷。

　　主持人勝春：衷心地希望老師精心總結的這些秘訣，能給我們考生帶來幫助。也希望我們的節目能對我們的考生有所幫助。那在這裡我們再次感謝兩位嘉賓，也感謝觀眾朋友收看我們這一期《高考大諮詢》節目，咱們下期節目再會。